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* QUIZ: Palline e bilance
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Autore Messaggio
ulisse
Dio maturo
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Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
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MessaggioInviato: 24 Mag 2006 17:16    Oggetto: Rispondi citando

Io ho ragionato diversamente ma sono arrivato al medesimo risultato.
Citazione:
Innanzi tutto dividiamo le palline in tre gruppi e numeriamole:
A1, A2, ... , C3, C4
Supponiamo che la pallina anomala sia C4.

Alla prima pesata devo escludere a caso uno dei tre gruppi (e mettere gli altri due sui piatti della bilancia). Quindi in un caso su tre la pallina anomala resta fuori dalla bilancia. La probabilità di non pesare proprio il gruppo C è quindi 1/3.
Alla seconda pesata devo confrontare 2 palline scelte a caso tra le 4 del gruppo C con altre due palline certamente regolari.
Posso scegliere 2 palline tra 4 in 6 modi diversi. In 3 casi su 6 la coppia scelta non contiene la pallina anomala C4. Quindi la probabilità di non pesare C4 è 1/2.
Infine alla terza pesata devo scegliere a caso una tra le due palline del gruppo C che non sono state ancora pesate. In un caso peso una pallina regolare, nell'altro peso quella anomala. Quindi la probabilità di non pesare la pallina anomala è 1/2.

La probabilità di non pesare mai la pallina anomala è data dal prodotto delle tre probabilità ovvero è 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 = 0.08(3)
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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Registrato: 28/01/06 14:35
Messaggi: 6382
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MessaggioInviato: 24 Mag 2006 21:01    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
@Benny: wow! noto ora che sei diventato semidio! Applause

Azie! Azie! Grazie
Però con tutte queste palline sto diventando anche semidiota!

Tornando alle soluzioni, trovare la pallina anomala, conoscendo anche il tipo di anomalia, si può fare con tre pesate essendo fortunati, cioè nel caso in cui si pesi proprio la pallina anomala (e non sempre capita). Mi pare evidente anche dalle soluzioni sin qui postate.

Per venire al quesito posto da Ulisse, potrei aggiungere:
Esiste una soluzione che ha maggior probabilità di trovare la soluzione rispetto le altre?

Addirittura l'avevo pensata così:
Citazione:
si pesano due gruppi da 6 palline. Sicuramente la pallina anomala è in uno dei due gruppi...
Prendiamo il gruppo più pesante e lo dividiamo in due gruppi da 3 palline. Confrontando i pesi potremmo avere parità, e quindi non abbiamo concluso nulla, o disparità.
In questo secondo caso sapremmo per certo che la pallina anomala è più pesante delle altre e sta nel gruppetto da 3 palline che pesa di più.
Con un'altra pesata determiniamo qual è la pallina anomala, per pesatura diretta o per esclusione.
Stesso discorso vale se all'inizio prendiamo il gruppo più leggero.
In questo caso ci vuole fortuna nel prendere proprio il gruppo anomalo.
Tradotto in codice dovrebbe venire:
Pesata 1
A1A2A3A4A5A6 > B1B2B3B4B5B6
Pesata 2
A1A2A3 > A4A5A6
La pallina pesa più delle altre ed è A1 o A2 o A3.
Pesata 3
A1 = A2 --> pallina anomala A3
A1 > A2 --> pallina anomala A1

se Pesata 2
A1A2A3 = A4A5A6
allora Pesata 3
B1B2B3 < B4B5B6
La pallina pesa meno delle altre ed è B1 o B2 o B3
Pesata 4
B1 = B2 --> pallina anomala B3
B1 < B2 --> pallina anomala B1

In questo caso, a meno di madornali errori, dipendendo il tutto dalla scelta iniziale, direi che ho il 50% di probabilità di trovare sia l'anomalia che la sua tipologia con tre pesate (ovvero che la pallina rimanga incognita).
Se centro il gruppo anomalo allora posso fare tutto con tre pesate, se sbaglio ne servono quattro.
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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Registrato: 28/01/06 14:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano

MessaggioInviato: 24 Mag 2006 21:20    Oggetto: Rispondi citando

Stavo guardando le soluzioni postate da Alb e Uli...
Io non ho fatto tutto il calcolo combinatorio, anche perché credo di aver in qualche modo travisato la domanda...
Citazione:
Nel mio caso, che spererei di non aver cannato! all'inizio peso sicuramente la pallina anomala, ma ancora non ne conosco l'anomalia, poi devo scegliere se pesare il gruppo A o il gruppo B.
Ho perciò probabilità 6/12=0,5 di pesare (o non pesare) la pallina anomala.
Se non peso la pallina anomala, questo avverrà certamente il passo successivo (evento certo con probabilità 1), cioè pesando il secondo gruppo.
Anche in questo caso non vedo scappatoie: a me vien fuori il 50%.
Può essere che mi sia risposto da solo? Che il mio metodo sia quello che ha maggior probabilità di individuare la pallina anomala con tre pesate?
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alb82
Mortale pio
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Registrato: 18/05/06 09:36
Messaggi: 27

MessaggioInviato: 24 Mag 2006 22:57    Oggetto: Rispondi citando

Benny stai dicendo una cosa diversa.
Tu hai trovato un metodo per trovare la pallina anomala con un 50% di possibilità e se ci prendi individui pure il tipo di anomalia.
Il metodo di ulisse individua la pallina anomala con il 100% di possibilità ma ha un ...%(vedi soluzione) di non riuscire ad individuare il tipo di anomalia.
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Eureka
Mortale devoto
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Registrato: 30/03/06 17:08
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MessaggioInviato: 25 Mag 2006 13:31    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
qual è la probabilità che l'anomalia resti incognita?


hmmmm spero di aver capito la domanda cmq con il mio metodo si determina in qualsiasi situazione il tipo di anomalia ovvero se la pallina incognita è + pesante o + leggera rispetto alle palline "normali"



Citazione:

La probabilità di non pesare mai la pallina anomala è data dal prodotto delle tre probabilità ovvero è 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12 = 0.08(3)


forse la domanda era: qual è la probabilità che l'anomala non venga mai pesata?

forse mi sbaglio? Confused Rolling Eyes
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Eureka
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MessaggioInviato: 25 Mag 2006 13:47    Oggetto: Rispondi citando

a credo di ver capito quale è il problema....
avevo proposto solo il caso + difficile ovvero quello nel caso in cui alla prima pesata la bilancia non fosse all'equilibrio...

ecco l'altro caso:
Citazione:

1°pesata:
4(1°gruppo) -- 4(2°gruppo) equilibrio

allora il 3° gruppo è quello diverso
quindi restringiamo il controllo a 4 palline abbiamo ancora 2 pesate

2°pesata
prendiamo 3 palline dal 3° gruppo le mettiamo a confronto con palline normali in caso di non equilibrio determiniamo il tipo di anomalia e quindi con la terza pesata le info sono 3 palline e tipo di anomalia e con la terza pesata di trova facilmente la pallina
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alb82
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MessaggioInviato: 25 Mag 2006 15:51    Oggetto: Rispondi citando

Shocked
Ecco che la percentuale diventa 0%!
Applause Applause
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 05 Giu 2006 14:42    Oggetto: Rispondi

Ehm... si, la richiesta era di calcolare la probabilità che la pallina anomala non venisse mai pesata.
Ma non pesare mai la pallina anomala equivale a non avere elementi per individuare il segno dell'anomalia.

La domanda, però, era riferita alla procedura sino al momento trovata che era in grado di individuare sempre la pallina anomala ma comprendeva un caso (quello in cui la pallina anomala non viene mai pesata) che consente di individuare per esclusione la pallina anomala senza arrivare a conoscere il segno dell'anomalia ovvero se la pallina pesa di più o di meno delle altre.

Usando la procedura proposta da Eureka (quella sottointesa nel suo primo intervento) ovviamente la mia domanda perde di significato perché in tutti i casi si riesce a individuare il segno dell'anomalia e, come ha detto alb, la probabilità (di individuare la pallina senza scoprire se pesa di più o di meno) si azzera!

Bravo Eureka!
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