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Eureka
Mortale devoto
Registrato: 30/03/06 17:08
Messaggi: 19
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 Inviato: 06 Apr 2006 18:48 Oggetto: QUIZ: massimo quoziente |
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Date le due seguenti equazioni:
N = 100*a+10*b+c
(a+b+c)*X = N
e i seguenti vincoli:
a<>b
b<>c
a<>c
a,b,c appartengono all'insieme dei numeri interi compreso tra 0 e 9
qual è la terna (a,b,c) che massimizza X e per quale motivo? 
Altra formulazione del problema:
N si scrive con tre diverse cifre. N è multiplo della somma della sue cifre.
Qual è il più grande quoziente possibile tra il N e la somma della sue cifre? |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 07 Apr 2006 00:07 Oggetto: |
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E' un problema di ottimizzazione.
Dobbiamo trovare il massimo della funzione X = f(a;b;c) = (100a+10b+c)/(a+b+c) all'interno del dominio di a, b e c.
| Citazione: | dX/dc (ovvero la derivata parziale di X rispetto a c) è sempre negativa mentre dX/da è sempre positiva.
Invece dX/db è sempre negativa tranne che per a = 0.
Abbiamo quindi due casi:
a = 0 allora dX/db > 0 e dX/dc < 0 sempre
dunque il massimo di X si avrà per b = 9 e c = 1 ricavando X = f(0;9;1) = 91/(9+1) = 9,1
oppure
a > 0 allora dX/da > 0 , dX/db < 0 e dX/dc < 0 sempre
dunque il massimo di X si avrà per a = 9 , b = 0 , c = 1 oppure per a = 9 , b = 1 , c = 0.
Poichè f(9;0;1) = 90,1 mentre f(9;1;0)= 91 si conclude che il massimo valore che X può assumere è X = 91
ottenuto per N = 910 cioè per a = 9 , b = 1 , c = 0. |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 07 Apr 2006 01:42 Oggetto: |
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ehm... in effetti...
stavo proprio per dirlo io !!!
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 14:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 07 Apr 2006 10:36 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Dobbiamo trovare il massimo della funzione X = f(a;b;c) = (100a+10b+c)/(a+b+c) all'interno del dominio di a, b e c. |
Stesso ragionamento che stavo seguendo io, però mi sono incasinato nel voler trovare l'hessiano alla ricerca di un minimo o massimo locale!
Diciamo che forse ho scelto una strada più impervia.
Le derivate seconde di X(a;b;c) non sono il massimo da trovare.
Credo però di aver commesso un errore nel calcolo di ∂X/∂a, ∂X/∂b e ∂X/∂c... 
Qualcuno riesce a postarne una (le altre sono uguali)? |
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 16:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 07 Apr 2006 12:27 Oggetto: |
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| Ragazzi, io quoto MadVero... per me ha ragione lei! |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42
Messaggi: 19480
Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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| Inviato: 07 Apr 2006 15:03 Oggetto: |
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bella davitz !!!
in effetti la mia testolina, leggendo il testo del problema, per associazione di pensiero aveva elaborato una frase tipo "trovare i massimi e i minimi... gli zeri della funzione... il massimo... il minimo..." ma poi mi sono accorta che non avevo capito la domanda, e ho lasciato stare.
dx/dy non è una soluzione, è un incubo !!!  |
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 16:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 07 Apr 2006 16:41 Oggetto: |
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Pensa che a me la matematica piace, ma sinceramente mi sento più affine al: "EH???"  |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 07 Apr 2006 17:13 Oggetto: |
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| Benny ha scritto: | | ulisse ha scritto: | | Dobbiamo trovare il massimo della funzione X = f(a;b;c) = (100a+10b+c)/(a+b+c) all'interno del dominio di a, b e c. |
Stesso ragionamento che stavo seguendo io, però mi sono incasinato nel voler trovare l'hessiano alla ricerca di un minimo o massimo locale!
Diciamo che forse ho scelto una strada più impervia.
Le derivate seconde di X(a;b;c) non sono il massimo da trovare.
Credo però di aver commesso un errore nel calcolo di ∂X/∂a, ∂X/∂b e ∂X/∂c...
Qualcuno riesce a postarne una (le altre sono uguali)? |
Tranquillo, anch'io ero partito con l'idea di applicare alla lettera la teoria ma poi per fortuna, vista la costanza del segno delle derivate parziali prime, non è stato necessario andare oltre il loro calcolo.
In realtà ho fatto a rovescio: prima ho individuato la soluzione con un bel programmino VBA poi, ragionando sui risultati, ho tratto le conclusioni sulle derivate!
Ecco le derivate calcolate usando la formuletta per la derivata di un rapporto D[f/g] = (gD[f] - fD[g])/g^2 :
∂X/∂a = (100(a+b+c)-(100a+10b+c))/(a+b+c)^2=(90b+9c)/(a+b+c)^2
∂X/∂c = (10(a+b+c)-(100a+10b+c))/(a+b+c)^2=(-90a+c)/(a+b+c)^2
∂X/∂c = ((a+b+c)-(100a+10b+c))/(a+b+c)^2=(-99a-9b)/(a+b+c)^2 |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 14:35
Messaggi: 6382
Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 07 Apr 2006 18:58 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | D[f/g] = (gD[f] - fD[g])/g^2 |
Io avevo usato questa: D[f*g] = gD[f] + fD[g]
con g = 1/(a+b+c)
Un modo come un altro per complicarsi la vita... a certe ore il cervello in stand-by.
Le derivate che ho calcolato sono esatte, anche se non le avevo sviluppate:
∂X/∂a = 100/(a+b+c) - (100a+10b+c)/(a+b+c)^2
ecc...
Con lo sviluppo anche le derivate seconde si semplificano un po' e di conseguenza il mio ragionamento...
Le grandi menti trovano sempre la strada più facile... io no!
@ Mad & Daviz : sono aperte le iscrizioni al vostro club?
- edit by ioSOLOio -
La discussione sul club di Mad continua qua: simpatizzanti della matematica - the club
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Eureka
Mortale devoto
Registrato: 30/03/06 17:08
Messaggi: 19
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| Inviato: 08 Apr 2006 12:37 Oggetto: |
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Esattamente bravo Ulisse....
il mio approccio iniziale lo ho fatto banalmente ovvero mi sono detto:
devo cercare di massimizzare il dividendo e contemporaneamente minimizzare il divisore dopo pochi tentativi avevo trovato la soluzione...
dopo ho cercato una dimostrazione + rigorosa e allora ho espresso in forma matematica il problema e ho cercato di risolverlo con le derivate e l'hessiana (il tutto usando matlab per facilitarmi i conti) cmq risulta che il determinante dell'hessiana è sempre nullo quindi non c'era altro modo che analizzare le derivate prime...
alla prox |
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